Todo lo expresado hasta aquí tiene un
único objetivo,
conocer la información disponible para realizar
estimaciones (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977;
Armstrong y Carignan, 1997), es decir, estimar valores
desconocidos a partir, no sólo de los conocidos, sino
también de su estructura
de continuidad espacial. A diferencia de otra gran variedad
de métodos de interpolación que no
utilizan estas características y que se emplean
actualmente con diferentes fines. Sin pretender hacer una
comparación profunda de las características y
ventajas de éstos métodos, veamos algunos
ejemplos.Este método consiste en ajustar un plano
que pase por las tres muestras más cercanas y
adyacentes a la localización que se desea
estimar.La ecuación del plano es:
Z = a x + b y + c
Cada muestra tiene coordenadas (x, y) y z
representa el valor
muestreado.Con el objetivo de obtener la ecuación
del plano que pase por las tres muestras se construye el
siguiente sistema de ecuaciones lineales:a x1 + b
y1 + c = z1a x2 + b
y2 + c = z2a x3 + b
y3 + c = z3y así obtenemos los coeficientes a, b y
c, entonces el valor de z en cualquier
localización dentro del triángulo
correspondiente se puede obtener sustituyendo sus
coordenadas en la ecuación de Z.- Triangulación
Este método se basa en una
combinación lineal dada por: Z*(x)
= å
l i
Z(xi)En la que l i son los pesos
proporcionales al inverso de la distancia euclidiana
entre las localizaciones muestreadas y la que se desea
estimar, éstos pesos son calculados
por:l
i = (1/doi)/
å
1/dojdonde: doi es la distancia entre la
localización a estimar y la localización de
la muestra i.Generalizando obtenemos:
Z*(x) = [å i+1,n
1/doi Z(xi)] / å
i=1,n1/dojSe pueden obtener distintos estimadores si
escribimos la ecuación anterior como:Z*(x) = [å i=1,n
(1/doi)w Z(xi)] / å
i=1,n(1/doj)wNote que si w = 1 se obtiene la ecuación
anterior.Estas dos técnicas de estimación
utilizan directamente los
valores muestreados en el proceso de estimación y refieren
pesos de acuerdo a las distancias entre los datos,
sin tener en cuenta la continuidad espacial de la
información disponible. Veamos ahora el
krigeaje, interpolador de la
geoestadística, que sí utiliza los
resultados que discutidos del análisis estructural.Inicialmente, Matheron denominó a esta
técnica Krigeage (en francés) que en
ingles se convierte en Kriging y en español se escribe Krigeaje.
Este término que tiene su origen en el apellido de
D.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte. El
krigeaje es una técnica de estimación que
proporciona el mejor estimador lineal imparcial (BLUE, en
ingles, Best Linear Unbiased Estimator), (Schaug et
al.,1993; Christensen et al.,1993; Abasov et al., 1990),
y que además proporciona una error de
estimación conocido como varianza de
krigeaje que depende del modelo
de variograma obtenido y de las localizaciones de los
datos originales (Armstrong y Carignan, 1997; Journel y
Huijbregts, 1978; David, 1977; Abasov et al., 1990). Esto
brinda la posibilidad de hacer análisis sobre la
calidad de las estimaciones (Weerts y
Bierkens, 1993; Haas, 1992). - Inverso de la distancia
Como resultado de los trabajos de
búsqueda y exploración de yacimientos
minerales, se obtiene información
del análisis químico de los testigos de
perforación y/o rocas
de afloramiento. Cualquiera sea la forma en que se
organice esta información, debe ser regularizada,
de modo que se obtengan los valores de la
característica estudiada (contenido mineral en el
caso minero), acompañadas de las coordenadas de
las localizaciones correspondientes.En términos mineros, el problema de
krigeaje consiste en encontrar la mejor estimación
lineal posible del contenido mineral de un panel,
teniendo en cuenta la información disponible,
mediciones que han sido obtenidas tanto en el interior
como externamente al panel que se desea estimar. El
krigeaje consiste en efectuar una ponderación, es
decir, atribuir un peso a cada valor observado, los pesos
son calculados de manera que minimice la varianza de
estimación resultante, teniendo en cuenta las
características geométricas del problema
(Matheron, 1970). Al minimizar la varianza de
estimación se garantiza el uso óptimo de la
información disponible (Zhang, 1996).Se dispone de los valores muestreados Z(xi),
i=1,…,n, y deseamos estimar un valor de la
característica observada en el panel Z(v) por
una combinación lineal de Z(xi).Z*(v) = å l i Z(xi)
donde Z*(v) es el valor estimado y
l i son los
peso de krigeaje, de modo que los l i sean obtenidos de
tal forma que proporcione un estimador: insesgado
E[Z*(v) – Z(v)] = 0 y de varianza mínima
Var[Z*(v) – Z(v)]La geoestadística exige como primera
etapa y fundamental el
conocimiento del comportamiento estructural de la
información, es decir, se debe contar
además, con el modelo de semivariograma
teórico que refleje fielmente las
características de variabilidad y
correlación espacial de la información
disponible, discutido anteriormente. En el caso
minero, particularmente, por la forma en que se
presenta la información, de estar condicionada
en una dirección por diversos
parámetros (Rivoirard y Guiblin, 1997), se
debe obtener modelos de variogramas verticales y
horizontales, el primero, que caracteriza la
correlación espacial en esta dirección,
es decir a través de los estratos, y el
segundo en los estratos, obteniéndose un
modelo conjunto para la estimación de bloques
(Pan y Arik, 1993; Armstrong y Carignan, 1997). Los
bloques a estimar son definidos con dimensiones
convenientes a la unidad de selección minera, teniendo en
cuenta el espaciamiento entre muestras y el alcance
estructural, es decir, la distancia hasta la cual las
muestras se encuentran correlacionadas espacialmente.
Las ecuaciones del krigeaje se obtienen entonces de
acuerdo las hipótesis de la
geoestadística que deben ser asumidas y
verificadas como ya se indicó.Teniendo en cuenta las hipótesis de la geoestadística se
pueden obtener las ecuaciones del krigeaje para los
siguientes casos: función aleatoria estacionaria
de esperanza nula o conocida, método conocido
como Krigeaje Simple, para una función
aleatoria estacionaria de esperanza desconocida, y
una función aleatoria intrínseca,
método conocido para los dos últimos
casos como Krigeaje Ordinario.A continuación se presenta el sistema
krigeaje para estos casos:- Ecuaciones del
krigeaje
En términos de la
covarianzaEstimador: Z*(v) = å l i Z(xi)
Sistema: å l
i C(xi, xj) – m = C(xj, v) i,j =
1,…,nå
l i =
1Varianza de krigeaje: s 2 = C(v,v)
– å
l i C(xi, v)
+ mEn términos del
semivariogramaEstimador: Z*(v) = å l i Z(xi)
Sistema: å l
i g
(xi, xj) + m = g (xj, v) j = 1,…,nå
l i =
1Varianza de krigeaje: s 2 =
å l i (xi, v) –
g (v,v)
+ mEn todos los casos el sistema puede ser escrito
matricialmente de la forma: K l = CAl sistema krigeaje es necesario hacer algunas
observaciones según Journel y Huijbregts
(1978):1.- El sistema krigeaje tiene solución
única si y solo sí la matriz
de K es definida estrictamente positiva, es
decir:å
i=1,nå j=1,n
l
il j C(xi,
xj) ³ 0o en términos de variograma:
– å
i=1,nå j=1,n
l
il j g (xi,
xj) ³ 0y no existen datos con las mismas
coordenadas.2.- El krigeaje, el cual es un estimador
imparcial, es también un interpolador exacto, es
decir, para iguales soportes de observación va (a =1,…,n) y de
estimación V, Los valores real Za y estimado Z* son
iguales, además de que la varianza de
krigeaje s
2k es cero.3.- Las expresiones del sistema krigeaje y de la
varianza de krigeaje son completamente generales, es
decir, son aplicables cualquiera sean los soportes de
observación y estimación y el modelo
estructural empleado.4.- El sistema krigeaje y la varianza de
krigeaje dependen sólo: del modelo estructural
C(h) o g
(h) obtenido y de la geometría del soporte de
observación. Esta característica da la
posibilidad de que la varianza de krigeaje sea usada
cuidadosa y convenientemente para el estudio de redes y
la clasificación de recursos.En el proceso de krigeaje, la matriz que se
obtiene tiene dimensiones de hasta (N+1) x (N+1), cuando
existen muchos datos en el área de influencia
definido por los alcances esta matriz es grande, lo que
implica tiempo
para la solución del sistema, sin embargo (Myers,
1991c), excepto para las localizaciones vecinas de la
localización a estimar, los pesos son ceros o
próximos a cero, conocido como el efecto
pantalla del krigeaje. En la práctica, se
establece una vecindad de búsqueda para evitar
el
trabajo con grandes sistemas, el cual es recomendado en la
totalidad de la literatura básica de
geoestadística. Todos los sistemas que implementan
la estimación por krigeaje, permiten la
definición de una vecindad de búsqueda, la
cual debe ser obtenida con reducciones proporcionales en
cada unos de los alcances, o la estimación por
cuadrantes u octantes, limitando el número de
muestras a usar en el proceso de krigeaje. De modo que
los pesos asignados a las muestras más lejanas a
la localización a estimar y dentro de la vecindad
de búsqueda no sean negativos, nulos o
próximos a cero. En ocasiones por esta
razón se realizan compensaciones por el sistema de
krigeaje que pueden arrojar pesos negativos y por
consiguiente valores negativos en la
estimación. - Planteamiento del problema del
krigeaje - El caso no estacionario, Krigeaje
Universal (KU)
Uno de los problemas
encontrados al modelar semivariogramas según Krajewski
y Gibbs (1993) y ASCE Task (1990) es la existencia de
tendencia en los datos, es decir, que los valores medidos
aumentan o diminuyen en alguna dirección en el
área de estudio. Este es el caso de un fenómeno
no estacionario, lo que hace imposible la aplicación
del krigeaje presentado hasta aquí. Con el objetivo de
solucionar este problema Matheron propuso dos aproximaciones,
primero el Krigeaje Universal (KU) (Matheron, 1970), que
consiste en extraer de la variable original Z(x) la parte no
estacionaria por medio de una componente
determinística m(x) que representa la deriva, hasta
encontrar la parte estacionaria del fenómeno,
obteniéndose un componente estocástico R(x)
relacionados por la siguiente expresión:Z(x) = m(x) + R(x).
Para el componente determinístico se sugiere
utilizar una función polinomial de las coordenadas
para modelar la tendencia, es decir:
donde al son coeficientes y fl
es la función que describe la tendencia. Así
pueden obtenerse derivas simples, lineales,
cuadráticas, etc., (Jones y Vecchia, 1993;
Maisonneuve, 1998). Para una deriva simple el KU se reduce al
Krigeaje Ordinario (Christensen, 1993; Renard,
1998).Obteniéndose finalmente el sistema Krigeaje
Universal.
Con varianza de estimación.
Una variante de krigeaje que tiene en cuenta esta
situación, fue desarrollada por Goldberger, A, S. en
1962 y descrita por Matheron en 1969, para tratamiento de
datos débilmente estacionarios y con tendencia. La
aplicación de KU puede resultar difícil por la
indeterminación de la tendencia y del semivariograma
(Carr, 1990; Armstrong y Carignan, 1997; Renard,
1998).Una aproximación más general es el
estudio del modelo de Funciones Aleatorias
Intrínsecas de orden K, la cual consiste en
construir incrementos de orden creciente hasta alcanzar un
orden K para el cual dichos incrementos son estacionarios
(Christensen, 1990).- Estimación
Los conceptos presentados hasta aquí,
extendidos a más de una variable, se denominan
Geoestadística Multivariada (Wackernagel, 1995). Es
posible encontrar casos de variables
de interés que están
insuficientemente muestreadas, pero que se conoce su
correlación con otras variables en la zona de
interés. Utilizando esta correlación es posible
estimar una variable de interés a partir de la
información de la propia variable además de las
correlacionadas con ellas (Journel y Huijbregts, 1978; David,
1977; Myers, 1991a; Wackernagel, 1995; Myers, 1991d; ASCE
Task, 1990; Christakos y Bogaert, 1996; Almeida y Jounel,
1994; Carr y Mao, 1993). Esto es, el Co-Krigeaje, una
extensión o generalización del krigeaje cuando
más de una de las variables disponibles guardan
relación entre sí. En este caso, se requiere
conocimiento no sólo del modelo de
semivariograma de cada una de las variables, sino
además, del semivariograma cruzado entre las variables
(Zhang et al.,1992; Myers, 1991a; D'Agostino y Zelenka, 1992;
Pawlowsky et al.,1994; Myers, 1992; ASCE Task, 1990; Myers,
1991a; Carr y Myers, 1990; Wackernagel, 1994). Existen
variantes de Co-Krigeaje más generales para la
integración de datos (Almeida y Jounel,
1994)En este proceso, se pueden distinguir las siguientes
situaciones (Wackernagel, 1995 y 1998):Isotopía: Se produce cuando todas las
variables poseen valores medidos en todas las localizaciones.
En este caso no es de interés aplicar el procedimiento
multivariado, porque el Co-Krigeaje en este caso puede
resultar equivalente al krigeaje, se dice variables
autokrigeables.Heterotopía total: Cuando las
variables poseen valores medidos en localizaciones
diferentes. En este caso no es de interés tampoco
aplicar procedimiento multivariado, además, de que no
es posible obtener el semivariograma cruzado
experimental.Heterotopía parcial: Esta
situación se produce cuando algunas (la mayor parte)
de las localizaciones muestreadas poseen valores medidos de
todas las variables, un caso importante es cuando las
muestras de la variable de interés están
incluidas como un subconjunto de las demás variables.
En este caso pueden ser calculados los semivariogramas
cruzados y resulta ventajoso utilizar el procedimiento
Co-Krigeaje.El semivariograma cruzado se obtiene por la
ecuación:
donde ZA y ZB son
variables correlacionadas, ZA la variable de
interés y ZB la variable auxiliar o
secundaria.Los criterios para el cálculo del semivariograma cruzado
son análogos al caso univariado, mientras el
semivariograma directo toma sólo valores
positivos, el cruzado puede tomar valores negativos, lo
que indica correlación inversa entre las
variables. Un aspecto importante en el modelado de los
semivariogramas cruzados es que deben satisfacer la
desigualdad de Cauchy – Schwarz (Wackernagel,
1995):
Una forma de modelar los semivariogramas
cruzados consiste en ajustar independientemente los
semivariogramas de las variables ZA,
ZB y el de la suma ZA +
ZB, los cuales están relacionados por
la siguiente expresión.
En Issaks y Srivastava (1989) se presentan
elementos para el cálculo y ajuste de los
semivariogramas en el caso multivariado, además
del Modelo Lineal de Corregionalización como
procedimiento para modelar semivariogramas directos y
cruzados.- Semivariogramas
cruzadosEl sistema Co-Krigeaje Simple se presenta a
continuación.
La varianza es:
El sistema Co-Krigeaje Ordinario es:
Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar"
del menú superiordonde:
y la varianza es:
- Co-Krigeaje.
Este procedimiento es un simple y eficiente
algoritmo para incorporar una segunda
variable Y(x) en la estimación de una primaria
Z(x) (Deutsch y Journel, 1998). Consiste en una
extensión del Krigeaje con Modelo de Tendencia o
Krigeaje Universal que integra condiciones de
universalidad suplementarias relativas a una o varias
variables externas Yi(x) i = 1, …, N medidas de forma
exhaustiva en todo el dominio donde se desea estimar la variable
de interés (Wackernagel, 1993). Si la variable
Y(x) que llamaremos secundaria tiene un comportamiento
lineal con la variable de interés Z(x) que
llamaremos primaria, es decir, si se cumple la
relación:
u otra relación polinomial con sentido
físico, es posible incorporar ésta en el
sistema de krigeaje, integrado dos fuentes de
información con diferente grado de
conocimiento. Obteniéndose el siguiente
sistema:
= 
o en notación matricial
El estimador es:
y la varianza de estimación:
donde: T como superíndice denota matriz
transpuesta,
: covarianza de la variable primaria entre las
localizaciones i y j. - Krigeaje con Deriva
Externa - Co-Krigeaje con Variable
Colocalizada (Collocated CoKriging)
Otro modelo que incorpora una o varias variable
externa para al estimación de una primaria consiste en
una forma reducida de sistema de Co-Krigeaje (Deutsch y
Journel, 1998), que incluye a la variable de interés y
la variable secundaria conocida en todo el dominio donde
será estimada la variable primaria.El sistema de Collocated Cokriging es
= 
o en notación matricial:
El estimador es:
la varianza de estimación es:
Donde:
es
el valor colocado de la variable secundaria en la
localización a estimar
.
(i =
1,…,N): pesos asignados a los datos experimentales de la
variable primaria.
:
peso asignado a la variable secundaria.
:
esperanza matemática de la variable
secundaria.:
esperanza matemática de la variable
primaria.
:
covarianza de la variable secundaria entre las localizaciones
i y j.
:
covarianza cruzada entre la variable primaria y secundaria en
las localizaciones iyj.
y lo
mismo para la variable primaria.y
:
multiplicadores de Lagrange.Los valores
pueden aproximarse por la expresión
= B 
, donde:B =
, ,
son las
varianzas de las variables Z y Y,
es el coeficiente de
correlación entre las variables Z y Y. - Geoestadística
MultivariadaEn ocasiones nos encontramos situaciones con
características que las técnicas lineales no
permiten modelar, datos con alta asimetría por
ejemplo. En estos casos se pueden realizar
transformación a los datos, y obtener configuraciones
de estos que si pueden ser explicados por el krigeaje, para
lo que se han adoptado variantes como el Krigeaje Lognormal,
Krigeaje de Indicadores, El Krigeaje Disyuntivo (Carr y
Mao, 1993), El Krigeaje de Probabilidades (Carr, 1994; Carr y
Mao, 1993), etc. La idea de estos procedimientos es realizar transformaciones en
los datos originales hasta encontrar homogeneidad en la
información, utilizar la técnica Krigeaje
descritas hasta aquí y posteriormente realizar la
transformación inversa. Un estudio más
detallado en este sentido puede ser encontrado en Chica
(1987), Deutsch y Journel (1998), Rivoirard (1991), entre
otros. - Geoestadística no
LinealLa estimación en Geoestadística por el
Krigeaje, como todo proceso de interpolación, ofrece
una imagen suave
o lisa de la realidad, existiendo aplicaciones en la que
interesa algo más que simplemente obtener valores
aproximados a una realidad desconocida, es decir,
resultaría útil una representación que
pueda sustituir la realidad. Con tal intención se
propone, la Simulación Geoestadística, a
través de la cual se obtienen realizaciones con igual
comportamiento espacial que la información observada
en las localizaciones muestreadas. La cual puede ser
útil para obtener una representación de una de
las posibles realizaciones de la realidad de un yacimiento
(Lantuéjoul, 1998; Rivoirard, 1998). Esto da la
posibilidad de sustituir un yacimiento real por uno simulado
y realizar estudio de simulación de
explotación, estudio de redes, etc, Un estudio
más detallado puede ser encontrado en Lantuejoul
(1995), Deutsch y Journel (1998), Cuador et al. (2000),
Cuador y Quintero (2001), entre otros. - La Simulación
Geoestadística - Conclusiones
u otra relación polinomial con sentido
= 
: covarianza de la variable primaria entre las
= 
es
.
(i =
:
:
:
:
:
y lo
y
:
, donde:
, 
,
son las
es el coeficiente deHasta aquí hemos expuesto los elementos
fundamentales de la geoestadística, ciencia
aplicada que surge como solución a problemas concretos en
la estimación de reservas minerales y que toma auge en
otros campos de las Ciencias de
la Tierra. Es
importante destacar que la estimación a través del
krigeaje, se hace buscando y utilizando las
características de continuidad espacial del
fenómeno estudiado, características que constituyen
la contribución fundamental de la geoestadística a
través de las diferentes variantes de interpolación
que propone. Además de las referencias
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magnificas contribuciones de otros autores.
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Dr. C. José Quintín CUADOR
GIL
Departamento de Informática
Universidad de Pinar del Río
Cuba
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